[6기 대전 민창기] Control System #3

극점과 영점

 

전달함수는 복소수s의 함수로서 대부분의 경우에 분수함수의 꼴을 갖는 복소함수입니다. 따라서 s가 정해지면 전달함수는 복소수값을 갖는데 그 중에서도 전달함수의 값을 무한대가 되게하는 s의 값을 극점(pole)이라 하며, 전달함수값을 0이 되게 하는 s의 값을 영점(zero)라고 부릅니다. 

 따라서 전달함수의 분모 및  분자 다항식을 각각 D(s), N(s)라 할 때, D(s)=0을 만족하는 s들이 극점이 되고,N(s)=0을 만족하는 점들이 영점이 됩니다. 또한, D(s)=0을 특성방정식이라 부르고, N(s)=0을 영점다항식이라 부릅니다. 

다음과 같은 전달함수의 극점 및 영점을 보게 되면 다음과 같습니다.

극점 : s = 1, -2 +3i, -2-3i, -4

영점 : s = -1, 3

 전달함수의 극점과 영점은 대상시스템의 고유한 특성을 나타내는 중요한 지표가 됩니다. 이러한 점들과 시스템 특성은 어떤 관계를 갖는지 정리해 봅시다.

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극점과 시스템 특성

 극점은 시스템의 특성에 거의 결정적인 영향을 미칩니다. 정상상태와 과도상태 모두에서 극점의 위치에 따라 시스템의 출력신호의 변화가 크게 달라지는데, 여기서 정상상태란 시간이 충분히 지난 상태를, 과도상태는 정상상태에 이르기 전의 상태를 뜻합니다. 우선 극점의 위치가 s 평면의 우반평면에 있는 경우를 봅시다.

 여기서 p는 0이 아닌 실수이며, 이 시스템의 극점은 s=p입니다. 이 시스템에 입력신호로서 단위계단입력신호가 들어올 때에, R(s) =1/s 이므로 출력신호의 변환함수는 다음과 같이 구해집니다. 

 이것을 라플라스 역변환하여 출력신호 y(t)를 구하면 다음과 같습니다. 

출력신호 y(t)를 보면, 극점p각 지수함수항의 지수부에 나타나기 때문에, 극점의 부호와 크기에 따라 그 값이 크게 달라집니다. 극점p의 부호와 크기 따라 출력신호가 어떻게 변화는가를 그려보면 다음과 같습니다. 

 그림(a)에서 볼 수 있듯이 극점이 우반평면에 있으면, 즉 p>0이면 출력은 발산하게 됩니다. 그 이유는 지수함수항의 지수부가 양수가 되어 시간 t가 커짐에 따라 이 항이 무한대로 커지면서 발산하게 되기 때문입니다. 그리고 p값이 클수록 발산속도는 더욱 빨라집니다. 이와  같이 어떤 시스템의 출력이 발산하게 되는 경우에 그 시스템은 불안정하다고 말합니다. 시스템의 극점이 우반평면에 있으면 그 시스템은 불안정합니다. 극점이 두개 이상인 시스템에서는 극점 가운데 어느 하나라도 우반평면에 있으면 그 시스템은 불안정하다고 말할 수 있습니다. 왜냐 하면, 부분분수 전개과정에서 알 수 있듯이, 출력신호에는 불안정 극점에 대응하는 지수함수 항이 나타나면 바로 이 항이 발산하기 때문입니다.

 그림(b)는 p<0, 즉 극점이 좌반평면에 있는 경우입니다. 이 경우에 출력은 발산하지 않고 어떤 유한한 값으로 수렴하거나 한정된 범위에 있게 됩니다. 이렇게 출력이 제한되는 이유는 지수함수항의 지수부가 음수가 되어 시간t가 커짐에 따라 이 항이 0으로 수렴하기 때문이다. 그리고 p의 절대값이 클수록 수렴속도는 더욱 빨라집니다. 이처럼 어떤 시스템의  출력이 유한하게 되는 경우에 그 시스템은 안전하다고 말하는데, 시스템의 모든 극점이 좌반평면에 있으면 그 시스템은 안정하다고 할 수 있습니다. 

* 극점이 좌반평명에 있으면 시스템은 안정하고, 우반평면에 있으면 불안정하다.

* 극점이 좌(우)반면에 있으면서 허수축으로부터 멀어질수록 출력신호의 수렴(발산)속도가 빨라진다.

* 극점이 실수축으로부터 멀어질수록 출력신호의 진동주파수가 높아진다. 

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영점과 시스템 특성

 극점은 시스템의 안정성에 직결되어 있으며, 정상상태와 과도상태 모두에서 시스템의 출력응답에 큰 영향을 미칩니다. 영점은 이러한 극점처럼 시스템의 특성에 결정적인 영향을 주지는 않습니다. 그러나 영점도 위치에 따라서 시스템 출력에 적잖은 영향을 주게 됩니다. 

 이 시스템의 영점은 s=z이며, 여기서 z는 0,-1,-2 인 실수라고 가정합니다. 이 영점의 위치, 즉 크기와 부호에 따라 이 시스템에서의 단위계단 응답이 어떻게 달라지느가를 살펴봅시다. 

 함수를 부분분수로 전개하고 이것을 라플라스 역변환하여 출력신호 y(t)를 구하면 다음과 같습니다.

 이 식의 우변을 보면, 출력신호y(t)에는 영점계수z가 안정한 지수함수항의 계수부에 나타나기 때문에, 이고 이는 정상상태에서는 안정한 극점들이 대응하는 이 지수함수항들이 0으로 수렴하여 없어지므로 출력에 영향을 주지 않습니다. 그러나 과도상태에서는 영점의 부호와 크기에 따라 그 값이 상당히 달라진다. 영점 z의 부호와 크기에 따라 식의 출력신호 y(t)가 어떻게 변화하는가를 그려보면 다음과 같습니다. 

 그림에서 볼 수 있듯이, 만일 영점이 좌반평면에 있으면서 좌반평면 극점 가운데 허수축으로부터 가장 멀리 떨어져 있는 극점보다 더 멀리 떨어져 있으면, 즉 lzl >= 2 인 경우에는, 과도 상태에서 출력에 영점의 영향은 거의 나타나지 않습니다. 이 경우의 응답은 극점만 있는 시스템, 즉  의 응답과 거의 같아집니다. 그러나 영점이 허수축에 가장 가까이 있는 극점보다 더 허수축에 가까이 놓이게 되면, 과동상태에서 시스템의 출력은 기준입력 1을 지나치는 형상이 나타납니다. 이러한 현상을 overshoot라고 부르는데, 이 초과의 정도는 그림(a)에서 볼 수 있듯이 영점이 허수축에 가까워 질수록 심해집니다. 

 그림(b)는 z>0, 즉 영점이 우반평면에 있는 경우의 단위계단응답을 보여줍니다. 이 경우에는 입력이 걸린 직후의 과동상태에서 출력이 기준입력과 반대방향으로 지나치는 형상이 나타납니다. 이러한 형상을 undershoot라고 부르는데, 이 하향초과 현상은 그림(b)에서 알 수 있듯이 우반평면 영점이 있는 한 항상 나타나며 그 크기는 영점이 허수축에 가까워질수록 더 커짐니다. 

* 영점이 허수축으로부터 멀리 떨어져 있으면 영점은 시스템 출력에 거의 영향을 주지 않는다.

* 영점이 좌반평면에 있으면서 허수축에 가까워질수록 출력신호의 초과가 심해진다.

* 영점이 우반평면에 있으면 하향초과가 생기며, 하향초과의 크기는 영점이 허수축에 가까워질수록 더 커진다.

 영점의 성질 가운데 허수축 가까이에 있는 우반평면 영점에 의한 하향초과 현상은 제어하기가 까다로운 대상입니다. 그래서 이러한 우반평면 영점을 갖는 시스템의 제어문제는 지금도 제어공학 분야에서 연구과제로 남아있습니다.

 시스템의 수학적 모델을 이용하여 영점과 시스템 시간응답 특성 사이의 관계를 보다 구체적이고 정량적으로 분석하는 것은 향후 다루겠습니다.