[6기 대전 민창기] Control System #2

시스템 모델링(System Modeling)

 제어는 시스템이 원하는 출력을 내도록 입력을 변환하는 것 입니다. 그렇다면 우선 시스템에 어떠한 입력이 들어갈 때 출력이 어떻게 나오는지, 즉 우리가 제어하고 싶은 시스템에 특성에 대해 알아야 합니다. 

 실제 물리 시스템에 입력을 넣고 출력을 얻는 실험적인 방법으로 시스템에 특성을 파악하는 방법은 많은 시간이 소요될 뿐만 아니라 많은 비용이 들게 됩니다. 그렇기 때문에 실제 물리 시스템을 수학적인 식으료 편한하게 되는데 이 과정을 모델링이라고 합니다. 모델링은 즉 입력에 따른 시스템에 출력을 수학적인 식으로 표현하는 과정으로서, 시스템의 특성 및 수학적인 표현방법에 따라서 여러가지 방법이 있을 수 있습니다. 

 우선 모델링을 설명하기 전에 시스템에 대해 보게 되면 시스템은 넓게 보면 이전 포스팅에서 말한바와 같이 입력이 들어가면 출력이 나오는 모든 장치를 말합니다. 이 시스템을 분류해서 보게 되면 선형시스템과 비선형 시스템으로 분류되고, 각각의 시스템은 시불변 시스템과 시변 시스템으로 구별합니다.

 선형시스템이란 해당 시스템의 수학적 모형이 선형 연산을 기본으로 한 시스템을 말하고 비선형시스템은 선형시스템인 아닌 시스템을 말하게 됩니다. 선형시스템의 가장 큰 특징은 중첩의 원리가 적용된다는 것 입니다.

 중첩의 원리란 어떠한 시스템에 두 개의 입력이 서로 가했을 때 얻어지는 출력과, 두 개의 입력을 각각 따로 가했을 때 얻어지는 출력들의 합이 같다는 것 입니다.  

 시변시스템은 시스탬의 특성이 시간에 흐름에 변화하는 시스템이며, 시불변시스템은 그 특성이 시간에 따라 변화하지 않는 동일한 특성을 유지하는 시스템을 말합니다. 

 이렇게 분류되어지는 시스템이 어떤 방식으로 모델링하는지를 보면 다음과 같습니다. 

 선형 시불변 시스템의 경우에는 전달함수 또는 상태방정식을 서서 시스템을 표현할 수 있고, 비선형 시변 시스템의 경우에는 상태방정식을 써서 시스템을 표현하게 됩니다. 여기서 모델링을 전달함수와 상태방정식으로 표현하게 되는데 용도만 본다면 전달함수는 입력과 출력이 각각 하나씩인 비교적 단순한 시스템의 입출력 관계를 표현하는 방법이고 상태방정식은 단일입출력 선형 시불변 시스템은 불론이고 다변수 시변 비선형시스템까지도 표현할 수 있는 방법 입니다. 

 모델링의 근본적인 목적은 시스템을 완벽하게 표현하는 것이지만, 시스템을 완벽하게 표현한다는 것은 실제로 불가능합니다. 그러나 모델링에서 생기는 어느 정도의 오차는 시스템을 제어하는데 큰 영향을 주지 않습니다. 따라서 좋은 모델은 허용된 모델오차 안에서 시스템을 가장 단순하게 표현하는 것입니다. 시스템을 복잡하게 표현하면 시스템의 해석 및 제어기설계가 오히려 어려워질 수 있습니다. 

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전달함수(Transfer Function)

  

 시스템의 입력신호와 출력신호 사이의 특성은 시간영역에서 미분방정식으로 표현됩니다. 예를 들어 아래의 질량-스프링-댐퍼 시스템을 보면 다음과 같습니다. 

 이 시스템은 뉴턴 법칙에 의해서 위와 같이 시간영역에서 미분방정식으로 표현하게 됩니다. 이 식을 보게 되면 질량이 m인 물체에 입력으로 힘 F를 가할 때 변하는 x를 표현한 것 입니다. 모델링은 시스템의 입력이 들어갈 때 출력을 수학적인 식으로 표현하는 것이라고 했습니다. 위와 같이 간단한 시스템의 경우에는 미분방정식으로 표현하게 되도 쉽게 입력 F에 대한 출력 x를 구할 수 있게 됩니다. 하지만 지수합수나 고차 미분방정식 같은 복잡한 시스템일수록 입력에 따른 출력이 구하기 어렵게 되고 시스템의 해석이 어려워지게 됩니다.  이 때 라플라스 변환을 사용하게 됩니다. 

 시스템은 미분방정식 형태로 나타나게 되고, 이 미분방정식을 계산할 때, 고전적인 방법으로는 어려운 지수함수나, 초월함수, 고차 미분방정식을 라플라스로 변환으로 간단히 표현할 수 있습니다. 

 미분방정식으로 표시되는 시스템의 입력신호와 출력신호 사이의 전달 특성은 라플라변 변환으로 쉽게 풀리므로, 미분방정식을 라플라스 변환함수로 바꾸고 이 변환함수들 사이의 비를 입출력 전달특성으로 삼을 수 있습니다. 즉 전달함수는 시스템의 특성을 입력과 출력의 라플라스 변환의 비로 표시할 때에 나타나는 분수 함수를 시스템의 전달함수라고 합니다. 전달함수로 시스템을 표현하게 되면 미분방정식을 풀지 않고서도 이 함수의 분모부와 분자부 인수들로부터 시스템의 주요 특성을 알아낼 수 있다는 장점이 있습니다. 

 전달함로 나타낼 때에 유의해야 할점

* 전달함수는 선형 상계수 미분방정식으로 표시되는 선형시불변 시스템에만 적용할 수 있습니다. 

* 시스템의 전달함수는 입력신호가 출력신호에 전달되는 특성을 표시하기 위한 것이기 때문에 이 함수를 구할 때에는 시스템 안의 초기상태는 모두 0으로 가정합니다.