[6기 대전 민창기] Control System #4

모델링 및 동적시스템

 제어대상이 되는 플랜트를 제어하기 위해서는 우선 수학적으로 분석을 하는 것이 도움이 될 때가 많습니다. 일단 플랜트의 동작방식이나 특성을 수학적으로 표현하는 과정을 모델링이라고 부릅니다. 이 과정에서 얻어진 수학적 관계식을 모델이라 합니다. 제어시스템의 해석 및 설계는 플랜트의 수학적 모델에 기초하여 이루어지므로, 모델링은 제어시스템을 분석하고 설계하는데 있어서 첫 번째 단계라고 할 수 있습니다.

 모델링의 근본적인 목적은 실험을 통하지 않고 컴퓨터 모의실험만으로 시스템의 특성을 예측하고자 하는 것입니다. 이러한 모델이 구해진다면 이 모델을 써서 시스템의 특성을 분석하고 이를 바탕으로 제어기를 설계합니다. 그러나, 어떤 시스템을 모델링 오차가 없이 완벽하게 표현한다는 것은 실제로는 거의 불가능합니다. 또한, 모델링 과정에서 생기는 어느 정도의 오차는 시스템의 해석 몇 제어기를 설계에 큰 영향을 주지 않을 수도 있거나, 있다면 그 영향을 감소시키는 방법도 존재합니다. 

 따라서 공학적인 관점에서 볼 때 좋은 모델이란 완벽한 모델이기보다는 허용된 오차 범위 안에서 시스템을 될 수 있는 대로 단순하게 표현하는 모델입니다. 시스템을 완벽하게 표현하려면 할수록 모델이 복잡해지며, 이렇게 시스템을 복잡하게 표현하면 시스템의 해석 및 제어기 설계가 오히려 어려워질 수 있기 때문입니다. 즉, 컴퓨터를 사용하여 해석하고 설계하기에 쉬운 모델 일수록 좋은 모델이라고 할 수 있습니다. 

 일반적으로 플랜트는 거의 선형시스템으로 묘사되며, 복잡한 플랜트는 비선형시스템으로 묘사됩니다. 우선 선형시스템을 철저히 조사하여 성질을 충분히 이해한 후에 비선형 시스템을 연구하는 것이 도움이 될 때가 많습니다. 

 간단한 플랜트 몇 가지를 예를 들어서 모델링하는 과정을 봅시다

질량-스프링-댐퍼

 질량-스프링-댐퍼시스템을 예제로 하여 뉴턴역학에 의한 방법으로 운동방정식을 유도해 봅시다.

 여기서 m은 질량, k는 스프링상수, b는 댐퍼의 감쇠계수, F는 외력, x는 평형상태로부터의 변위를 나타냅니다.

 k는 변위 운동을 방해하는 정도, b는 속도 운동울 방해하는 정도, m은 가속도 즉 힘의 운동을 방해하는 정도라고 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다.

 이 식을 힘의 관계식으로 표현하기 위해서 질량에 대한 자유물체도를 그리면 다음과 같습니다. 

 여기서 뉴턴의 제 2법칙을 적용하여 다음과 같이 힘의 관계식을 유도하면 다음과 같습니다. 

 이 식을 절리하면 질량-스프링-댐퍼시스템의 운동방정식을 구할 수 있습니다. 

RLC 회로 시스템

 R,L,C 회로소자들은 선형특성을 갖고 있습니다. 따라서 이 소자들로 이루어지는 전기회로는 대표적인 선형시스템 가운데 하나이다. 아래와 같은 RLC질력회로의 입출력 모델을 구해봅시다.

 여기서 R은 저항, L은 인덕턴스, C는 정전용량이다. 이 회로에서  입력전압, 전류, 출력전압 는 다음과 같은 식을 만족합니다.

 위 두 식에서 를 소거하면 입력전압 와 출력전압  사이의 관계를 구하면 다음과 같은 운동방정식을 구할 수 있습니다.

 이 시스템의 전달함수를 구하게 되면 다음과 같이 구해집니다.