[6기 대전 민창기] Control System #6

영점과 시간영역 특성

 

 극점은 시스템의 안정성을 결정하고 과도응답 및 정상상태응답 모두에 큰 영향을 미칩니다. 이번 포스팅에서는 영점이 시스템에 어떤 영향을 미치는지 알아보겠습니다. 먼저 영점의 위치에 따라 시스템 시간응답이 어떻게 바뀌는가를 살펴보고 영점의 성질은 정리해 봅시다.

 영점의 성질 가운데 한 가지 분명한 점은 영점이 시스템의 안정성에는 직접적인 영향을 미치지는 않는다는 것입니다. 또한 영점은 정상상태응답에도 영향을 미치지 않습니다. 결국 영점이 시스템의 시간응답에 영향을 줄 수 있는 부분은 과도응답 특성뿐인데, 이 점에 대해 분석하기로 합시다. (극배치 법에서 보게되면 영점은 피드백 시스템 안정성에 간접적인 영향을 준다)

 일반적인 모델에서 영점의 영향을 분석하기 쉽지 않으므로, 다음과 같이 2차 표준형 전달함수에 영점이 하나 추가된 2차 시스템을 대상으로 영점의 영향을 봅시다.

 여기서 는 영점입니다. 이 전달함수를 고유진동수 으로 정규화하기 위해으로 놓으면 이 시스템의 단위계단응답의 라플라스 변환은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 

 따라서 이 시스템의 단위계단응답은 다음과 같이 구해집니다. 

 이 관계식의 셋째 등식에서 제 2항까지는 영점이 없는 표준형 2차시스템의 응답과 같고, 제 3항은 영점에 의해서 생기는 항이다. 인 정상상태에서는 위에 식에서 이 되어 영점의 영향은 출력에 나타나지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 

 이제 인 과도상태에서는 어떠한지 분석하기로 합시다. 셋째 등식에서 영점에 의해 나타나는 제 3항의 계수가 일 경우, 즉 일 경우에는 이 항의 크기가 작기 때문에 과도상태에서도 출력에는 별 영향이 없습니다. 일 경우, 일 경우에는 이 항의 크기가 상대적으로 커져서 출력에 큰 영향이 나타납니다. 만일 가 음수일 경우에는 등식에서 영점에 의한 항이 출력이 더해지면서 초과가 더 커지게 되고, 가 양수일 경우에는 영점에 의한 항이 출력을 감소시키는 방향으로 작용한다는 것을 예상할 수 있습니다.  

 인 경우에 가 바뀜에 따라 계단응답이 어떻게 변화는 가를 구체적으로 살펴봅시다 .

 위에 그림은 가 음수일 경우의 결과입니다. 이것은 영점이 좌반평면에 있는 경우에 해당하는 결과인데, 이 그림에서 에 대응하는 그림은 영점이 없는 표준형 2차 시스템의 계단응답을 뜻합니다. 좌반평면에 영점이 있는 경우에 시스템의 과도응답은 영점이 없는 경우에 비해 상승시간이 빠라지는 대신에 초과가 커지느 성향이 나타나는 것을 알 수 있습니다. 이러한 성향은 영점이 허수축으로 멀리 있는 경우에는 별로 나타나지 않기 때문에 과도응답 특성이 영점이 없는 표준형 시스템의 결과와 비슷합니다. 그러나 이 성향은 영점이 허수축에 가까이 다가갈수록 커지며, 특히 영점이 허수축으로부터 시스템 고유진동수 크기와 같은 거리 안에 놓일 만큼 가까이 있으면 초과가 매우 커지는 것을 볼 수 있습니다. 

 가 음수일 경우의 결과는 위에 그림과 같습니다.이것은 영점이 우반에 있는 경우에 해당하는 결과인데, 이 그림에서 에 대응하는 그림은 영점이 없는 표준형 2차 시스템의 계단응답을 뜻합니다. 우반평면에 영점이 있는 경우에 시스템의 과도응답에 하향초과 현상이 나타나고 영점이 없는 경우에 비해 상승시간이 느려지면서 과도응답 특성이 나빠지는 성향이 나타납니다. 이러한 성향은 영점이 허수축으로 멀리 있는 경우에는 별로 나타나지 않기 때문에 과도응답 특성이 영점이 없는 표준형 시스템의 결과와 비슷합니다. 그러나 이 성향은 영점이 허수축에 가까이 다가갈수록 하향초과와 시간지연 현상이 나타납니다. 

 영점은 안정성과 정상상태 응답에는 영향을 미치지는 않지만 과도응답에 영향을 줍니다. 

 특히 영점이 복소평면에서 시스템 주복소극점의 고유진동수 크기를 반지름으로 하는 원 안에 있으면, 좌반 평면 영점은 초과를 커지게 하고 우반평면 영점은 하향초과를 크게 일으키면서 시스템 과도응답을 매우 나쁘게 만듭니다.

 특히, 허수축 가까이 있응 우반평면 영점은 하향초과를 일으키고 응답속도를 느리게 할 뿐만 아니라 초과도 커지게 하는 등 시스템 과도응답에 아주 나쁜 영향을 줍니다. 

 극점이 응답특성에 나쁜 영향을 주는 영우에는 피드백 제어기를 써서 폐로극점을 원하는 위치로 이동시켜 보상할 수 있으나, 영점은 되먹임을 쓰더라도 옯겨지지 않고 그대로 남아서 시스템의 성능에 한계로 작용하므로 유의해야 합니다. 이러한 우반평면 영점문제는 피드백에 의해서는 해결할 수 없기 때문에 제어시스템의 성능에 큰 걸림돌이 되며 현대제어 분야에서도 처리하기 까다로운 문제로 남아있습니다.