[6기 대전 민창기] Control System #5

극점과 과도응답

 저번 포스팅에 이어서 모델링한 시스템을 해석하는 법에 대해 포스팅 해보도록 하겠습니다.

 시스템의 과도응답은 극점의 위치 및 극점과 영점의 상대적인 위치에 따라서 그 형태가 달라집니다. 극점이 우반평면에 있으면 시스템은 불안정하고, 시간응답은 발산합니다. 극점이 좌반평면에 있으면 시스템이 안정하고 시간응답은 일정한 값으로 수렴합니다. 좌반평면의 극점이 원점 및 허수축과 멀수록 정상상태에 도달하는 시간이 빨라집니다. 영점이 우반평면에 존재하는 경우 하향초과가 발생하며, 영점과 원점과의 거리가 극점과 원점과의 거리보다 클수록 최대초과 및 하향초과의 값이 작아집니다.

 일반적으로 주어진 플랜트에 영점이 있는 경우, 폐로극점을 원점 및 허수축에서 멀어지게 할수록 정착시간은 짧아지지만 최대초과 및 하향초과의 값이 커지며, 폐로극점을 원점근처로 이동하면 정착시간은 길어지지만 최대초과 및 하향초과의 값은 작아지는 특징을 가집니다. 

 극점의 위치와 시스템 성능간의 관계를 보다 구체적으로 분석하여 정량적인 관계로 유도해 봅시다. 

1차 시스템

 다음과 같은 1차 표준형 시스템을 봅시다. 여기에서 는 S = 0 일 때, 즉 입력이 직류신호일 때의 전달함수 이득G(0)와 같으므로 직류이득이라고 부릅니다. 극점은 이므로 극점의 위치는 일 때에는 s 평명의 좌반평면에, 일 때에는 허수축을 포함하는 우반평면에 있게 됩니다.  따라서 인 경우에는 시스템이 불안정하게 되어 출력은 발산하며, 인 경우에 시스템은 안정하게 되어 출력은 수렴하게 됩니다. 시스템이 불안정하여 출력이 발산하는 경우에는 출력의 시간응답 특성을 정량적으로 논한다는 것이 의미가 없으므로 시스템이 안정한 경우에 대해서만 극점과 시간응답특성 사이의 관계를 다루기로 합시다. 

  시스템이 안정한 경우에, 즉 1차 극점에서 인 경우에 계수를 흔히 시정수라고 부르며 단위는 초[sec]로 표시됩니다. 이 시정수가 작을수록 극점은 허수축에서 멀어지면서 출력의 수렴속도가 빨라집니다. 따라서 시정수는 1차시스템이나 또는 1차극점을 주극점으로 하는 시스템의 출력응답 속도를 나타내는 지표로 쓰입니다. 위의 식에 대한 단위계단응답을 s영역에서 구해보면 다음과 같습니다.

  이 응답을 그림으로 나타내면 다음과 같습니다. 

 그림에서 볼 수 있듯이 시정수가 클수록 시스템의 응답은 느려집니다. 그리고 정상상태 도달시간은 시정수의 4배 정도가 되며 초과는 나타나지 않습니다. 1차 시스템의 시간영역 특성은 다음과 같이 요약할 수 있습니다. 

 1차 시스템의 시간응답 특성 가운데 과도상태 특성은 시정수에 전적으로 의존하고 있으며, 과도상태 특성을 개선하려면 이 시정수를 줄이면 됩니다. 그리고 정상상태 특성은 직류이득에 의해 결정되는데 일 때 출력은 기준입력과 같아지면서 정상상태 오차는 0 이 됩니다. 따라서 1차 시스템의 제어문제는 폐로시스템의 시정수를 줄이면서 직류이득을 로 만드는 방향으로 제어기를 설계하는 문제로 요약할 수 있습니다. 

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2차 시스템

 전달함수의 분모부가 1차인수로 분해가 되지 않는 2차인수를 갖는 경우에 대응하는 극점은 복소수가 된다. 이러한 복소극점을 갖는 2차 전달함수의 표준형은 다음과 같습니다. 

 여기에서 분모항의 계수들 가운데 와 을 각각 감쇠비, 고유진동수라고 부릅니다. 2차 시스템에서 감쇠비는 시스템의 안정성과 밀접한 관련이 있는데, 만일 일 경우에는 극점이 s평면에서 허수축을 포함하는 우반평면에 놓이기 때문에 시스템이 불안정하여 출력이 발산하게 됩니다. 일 때에 극점은 s 평면 좌반평면에 놓이게 되어시스템은 안정하지만, 일 경우에는 분모부가 1차인수로 분해되어 두 개의 실극점을 갖습니다. 이 경우의 계단응답특성은 식을 1차인수로 분해한 다음, 허수축에 가까운 주극점에 대해 계단응답을 대입하여 특성을 적용하면 됩니다. 이 경우에 계단응답특성에서 출력에 감쇠가 걸려서 초과가 전혀 나타나지 않기 때문에 감쇠비가 인 2차시스템을 과감쇠(overdamped) 시스템이라고 부릅니다. 또한 인 경우에는 초과가 나타나는데 이러한 시스템은 부족감쇠(underdamped) 시스템이라 부르며, 특별히 의 경우를 임계감쇠(critically damped) 시스템이라고 부르기도 합니다. 

  인 경우에 대응하는 극점은 로서 복소수가 되며, 실수부와 허수부는 각각 임니다. 여기에서 를 감쇠 고유진동수라고 부른다. 이 복소극점의 위치와 사이에 관계는 아래에 그림과 같습니다. 

  이 그림에서 은 원점으로부터 극점까지의 거리를 나타내며, 극점과 허수축 사이의 각도를 라 하면 가 도비니다. 따라서 가 0 에 가까울수록 이 되어 극점은 허수축에 가까워지고, 가 1에 가까울수록 가 되어 극점이 실수축에 가까워짐을 나타냅니다. 

 표준형 2차 시스템의 식을 시간응답에서 고유진동수로 놓고, 감쇠비를 0에서 1까지 0,1 단위로 변화시키면서 얻은 신간응답 공석들은 한 그림 위에 나타내면 다음과 같습니다. 

 이 그림에서 알 수 있듯이, 감쇠비가 작아질수록 상승시간은 빨라지지만 최대초과가 커짐을 알 수 있습니다.

 표준형 2차 시스템의 단위계단응답을 나타내면 다음과 같습니다. 

이 식을 부분분수로 나누면 다음과 같습니다. 

이 식을 라플라스 역변화하면 시간영역에서의 응답을 다음과 같이 얻을 수 있습니다. 

 이 식은 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다. 

식을 통해서 2차 표준형 시스템에 대한 시간영역 응답특성을 다음과 같이 해석적으로 구할 수 있습니다. 상승시간은 출력이  에 이르기까지 걸리는 시간인데, 이 시간은 출력에 이르는 시간의 약75%로 볼 수 있습니다. 출력이 에 이르는 시점 은 우변의 둘째항이 0이 되는 점이므로 다음과 같이 구할 수 있습니다. 

 따라서 상승시간 은 감쇠비 와 고유진동수의 함수로서 다음과 같은 근사관계식으로 나타낼 수 있습니다. 

 이 관계식은 조금 복잡하지만, 자주 사용하는 감쇠비인 일 때와 일 때에 상승시간을 구해보면 이며, 감쇠비가 커질수록 상승시간도 커짐을 알 수 있습니다. 

 마루시간는 출력이 최대값을 갖는 시점이므로 위에 2차 표준형 시스템에서 최대점을 찾으면 구할 수 있습니다. 위에 식을 미분하여 정리하면 다음과 같습니다.

여기에서 을 만족하는 조건은 이므로, 이 조건을 만족하는 최소시점이, 즉 n = 1 일 때의 시점이 마루시간 가 됩니다. 

그리고 마루시간에서의 출력값으로부터 다음과 같이 최대초과 를 구할 수 있습니다. 

감쇠비와 초과 의 관계는 아래의 그림과 같습니다. 

정착시간 는 출력오차가 2%범위 안에 들기 시작하는 시점으로 정의되는데, 이것은 2차 시스템의 식에서 우변 둘째 항인 진동부분의 가중치가 인 시점을 뜻한다. 따라서 정착시간은 다음과 같이 구해집니다. 

감쇠비가 인 표준형 2차 시스템에 대해서 시간영역특성을 감쇠비와 비감쇠고유진동수로 나태내면 다음과 같습니다. 

 이러한 시간영역 특성은 이 일정한 경우에, 감쇠비 가 커질수록 초과는 줄어들지만 상승시간은 커지기 때문에 초과와 상승시간 가운데 어느 한 쪽을 좋게 하려면 다른 쪽이 나빠지는 상충관계를 갖는다는 점입니다. 따라서 2차시스템을 제어할 때에는 이러한 상충관계를 적절히 절충시키면서 시스템의 특성을 개선하는 방식으로 제어기를 설계해야합니다. 

 영점이 없는 2차 표준형시스템의 상승시간, 최대초과, 정창시간은 극점의 위치에 의존합니다. 이 가운데 상승시간은 고유진동수에 반비례하는데, 고유진동수가 일정한 극점들은 고유진동수의 크기를 반지름으로 하는 원을 이루므로, 상승시간이 설정값보다 작아지는 극점영역은 고유진동수의 반지름으로 하는 원주의 바깥부분에 해당합니다. 그리고 최대초과는 감쇠비에 의해 결정되는데, 감쇠비가 일정한 극점들은 허수축과 의 각도를 이루는 반직선이 됩니다. 따라서 최대초과가 설정값보다 작아지는 극점영역은 에 대응하는 ,로 정해지는 반직선의 아래쪽에 해당합니다. 또한 정착시간은 극점의 실수부에 반비례하므로, 정착시간이 설정값보다 작아지는 극점영역은 를 실수부로 하는 직선의 왼쪽 영역에 대응합니다. 이러한 시간영역 성능기준들을 함께 만족하는 극점영역은 아래에 그림처럼 성능기준에 대응하는 극점영역의 공통부분으로 구해집니다.

 지금까지 설명한 2차시스템 시간응답특성을 나타내는 관계식들이나 파형은 영점이 없는 2차 시스템의 표준형에서만 성립하는 것이며, 영점이 있는 경우에는 특성이 크게 달리지는 것에 주의해야 합니다.